Die genaue Kenntnis der Materialkenngrößen und des Werkstoffverhaltens ist für die Qualität der Simulationsrechnung von entscheidender Bedeutung.

Zur Beschreibung des Materialverhaltens von Polymeren müssen folgende Eigenschaften untersucht und beschrieben werden:

• rheologische Eigenschaften (Scherviskosität),
• thermodynamische Eigenschaften (Kristallitschmelz-/Glasübergangstemperatur, spezifische Wärmekapazität, spezifische Enthalpie, Wärmeleitfähigkeit),
• Dichten (Spezifisches Volumen, Schüttdichte, Feststoffdichte) sowie
• Granulatgröße.

Das Fließverhalten von Flüssigkeiten wird durch das Gesetz:

$$τ=η\cdot\dotγ$$

beschrieben, mit der Schubspannung $τ$, der Viskosität $η$ und der Schergeschwindigkeit $\dotγ$.

Eine konstante Viskosität tritt bei polymeren Flüssigkeiten bzw. Schmelzen nur selten bzw. nur bei sehr kleinen Schergeschwindigkeiten und gegebenenfalls bei sehr hohen Schergeschwindigkeiten auf. Kunststoffschmelzen zeigen in der Regel ein strukturviskoses Verhalten. Dieses Verhalten lässt sich für nicht zu große Schergeschwindigkeitsbereiche durch das empirisch gefundene sogenannte Potenzfließgesetz nach Ostwald und de-Waale beschreiben:

$$τ=K\cdot\dotγ^n$$

Hierbei ist $n$ der Exponent des Fließgesetzes (n‹1) und $K$ der Konsistenz-Faktor.

In diesem Zusammenhang wird auch von Potenzgesetzflüssigkeiten gesprochen. In doppelt logarithmischer Auftragung der Viskosität über die Schergeschwindigkeit ergibt sich für den Potenzansatz eine Gerade mit der Steigung ($n-1$). Die Steigung dieser Geraden ist schergeschwindigkeitsabhängig, daher müssen für den Wert $n$ immer Schergeschwindigkeitsbereiche angegeben werden. Zudem lässt sich die schergeschwindigkeitsunabhängige Nullviskosität mit dem Potenzfließgesetz nicht beschreiben. Diese Schwierigkeit lässt sich mit dem Carreau-Ansatz beheben.

PAM bietet zur Beschreibung der Abhängigkeit der Temperatur auf die Viskosität zwei Ansätze an: Den WLF- (Williams, Landel und Ferry) Ansatz und den Arrhenius-Ansatz. Diese Unterscheidung wurde eingeführt, um Daten unterschiedlicher Herkunft (CAMPUS, BAYMAT, VISCOSITY) problemlos und ohne Umrechnung eingeben zu können. Die Auswertung der Viskositätsfunktion mit dem Carreau-Berechnungsprogramm liefert neben der Nullviskosität $A$, der reziproken Übergangsgeschwindigkeit $B$ und der Steigung $C$, die Bezugstemperatur $T_b$ und die Standardtemperatur $T_s$. Dies macht die Anwendung des Carreau-WLF Ansatz für die Berechnungen notwendig:

WLF-Ansatz:

$$log(a_T) = \frac {C_1\cdot(T_B-T_S)} {C_2+(T_B-T_S)} - \frac {C_1\cdot(T-T_S)} {C_2+(T-T_S)}$$

mit: $C_1$ = 8,86, $C_2$ = 101,6, $T_B$ = Bezugstemperatur, $T_S$ = Standardtemperatur ($T_S ≈ T_G + 50°C$), $T$ = aktuelle Temperatur

Die WLF-Gleichung ergibt speziell für amorphe Polymere, deren schmelzflüssiger Zustand bereits bei einer Temperatur wenig oberhalb der Glastemperatur beginnt, eine bessere Beschreibung als der Arrhenius-Ansatz. Hierbei wird angenommen, dass die Segmentbeweglichkeit von Polymeren in der Nähe der Glastemperatur vorwiegend durch das freie Volumen bestimmt wird, das etwa linear mit dem Abstand zur Glastemperatur $T_G$ ansteigt [Fer80]. Wählt man als Standardtemperatur $T_S$ eine Temperatur, die etwa 50°C oberhalb der Glastemperatur $T_G$ liegt, können die Parameter $C_1$ und $C_2$ in Gleichung als materialunabhängig angesehen werden [Mel95].

Alternativ dazu kann auch der Ansatz:

$$ln(a_T) = - \frac {C_1 \cdot (T-T_B)} {C_2+(T-T_B)}$$

mit: $T_B$ = Bezugstemperatur, $T$ = aktuelle Temperatur, $C_1$ = Anpassungskonstante, $C_2$ = Anpassungskonstante

verwendet werden.

Der ebenfalls verfügbare Arrhenius-Ansatz lautet:

$$ln(a_T)=\frac{E}{R} (\frac{1}{T+273,15}-\frac{1}{T_B+273,15}) $$

mit: $T_B$ = Bezugstemperatur, $T$ = aktuelle Temperatur, $E$ = Aktivierungsenergie, $R$ = Allgemeine Gaskonstante

Um die benötigten Carreauparameter zu bestimmen, können beispielsweise mit dem Hochdruckkapillarrheometer Wertepaare bestimmt werden, die dann mit einem Carreau-Berechnungsprogramm umgerechnet werden. Hierzu werden die Viskositätswerte mit Hilfe von drei verschiedenen Versuchsreihen bei unterschiedlichen Temperaturen aufgenommen.

In einem Hochdruckkapillarrheometer durchströmt zuvor erwärmtes Material eine Kapillare mit kreis- oder schlitzförmigem Querschnitt. Mit diesem Messverfahren wird der gesamte Bereich praktisch interessierender Viskositäten erfasst. Für niedrigviskose Medien werden dünne lange Kapillare und bei hochviskosen Medien entsprechend hohe Drücke verwendet. Bei der diskontinuierlichen Methode wird der erforderliche Druck durch Fremdgas, Schwerkraft oder mittels Kolben aufgebracht. Der Volumenstrom ist bei der Vorgabe einer konstanten Kolbengeschwindigkeit konstant und die Schergeschwindigkeit aufgeprägt. Der Druckgradient am Einlauf und am Auslauf ist durch Wirbelbildung infolge viskoelastischer Effekte (Bagley-Korrektur), durch Änderung der Strömungsgeschwindigkeit (Hagenbach-Korrektur) und durch Änderung der Reibungsbedingungen an der Wand (Couette-Korrektur) nicht konstant. Um die Viskosität der Polymerschmelze exakt berechnen zu können, wird der Druckgradient mittels zweier Druckaufnehmer nur auf einer bestimmten Länge in der Kapillare gemessen, da dort rheologisch einfache Strömungsverhältnisse herrschen. Die Berechnung der Viskosität erfolgt rechnergestützt.

Die Berechnung des Aufschmelzverhaltens und der Temperaturentwicklung in strömenden Kunststoffschmelzen erfordert die genaue Kenntnis des thermodynamischen Werkstoffverhaltens [Hen89]. Die thermodynamischen Zustandsgrößen sind prinzipiell druck- und temperaturabhängig und weisen dabei im Feststoff- und Schmelzeverhalten ein unterschiedliches Stoffverhalten auf.

Die in den Programmen REX / PSI / SIGMA benötigten Daten, wie Kristallitschmelz- bzw. Glasübergangstemperatur, spezifische Wärmekapazität und spezifische Enthalpie, können mit der DSC (Differenz Scanning Calorimetrie)-Analyse ermittelt werden.

Das Prinzip beruht auf der Messung des Wärmestroms zwischen einer Probe und einer Vergleichssubstanz in einem Zwillingskalorimeter. Die Probe und die Referenz werden symmetrisch zu einander angeordnet, so dass die Temperaturdifferenz gleich Null ist. Viele chemische und physikalische Umwandlungen, wie Schmelzen, Kristallisieren, Oxidieren oder Zersetzen eines Stoffes, sind mit einer Wärmeströmung verbunden, d. h. es treten Enthalpieänderungen auf. Diese werden mit der DSC-Analyse bezüglich ihrer Lage im Temperaturbereich und ihrer kalometrischen Größe erfasst. Es lassen sich vor allem die spezifische Wärme und Enthalpie als Temperaturfunktion schnell und einfach bestimmen. Das zugrunde liegende Messprinzip wird Differenz-Wärmestrom-Kalometrie genannt und ist in der folgenden Abbildung schematisch dargestellt.

Über einen als Wärmewiderstand ausgebildeten Messfühler fließt ein Wärmestrom $\dot Q$ vom elektrisch beheizten Ofenkörper sowohl zum Proben- als auch zum Referenztiegel, die üblicherweise gleichartig sind (gleiche Abmaße, gleiches Material). Der Wärmestrom zur Referenz $\dot Q_R$ wird durch die Wärmekapazität des Tiegelmaterials und die naturbedingten Wärmeverluste hervorgerufen.

Dies gilt bei Gleichheit der Tiegelmaterialien und Symmetrie der Messzelle auch für den Probentiegel Die im Probentiegel ($\dot Q_S = \dot Q_R$) eingeschlossene Probensubstanz verursacht jedoch einen zusätzlichen Wärmestrom $\dot H$ ($d_H$/ $d_t$), der nun durch Differenzbildung bestimmt werden kann:

$$\dot H = \dot Q_S - \dot Q_R = \frac{T_P-T_S}{R_t} - \frac{T_P-T_R}{R_t} = \frac{T_S-T_R}{R_t} = - \frac{ΔT}{R_t}$$

Hierin sind $\dot H$= Wärmestrom der Probensubstanz, $\dot Q_S$ bzw. $\dot Q_R$ = Wärmestrom zum Proben- bzw. Referenztiegel, $R_T$ = thermischer Widerstand des Messfühlers, $T_P$ = Temperatur des Ofens (Temperaturprogramm) und $T_S$ bzw. $T_R$ = Proben- bzw. Referenztemperatur.

Teilkristalline Thermoplaste haben aufgrund ihrer unterschiedlich großen Kristalllamellen keinen festen Schmelzpunkt wie etwa Metalle, sondern einen Schmelzbereich. Kleinere, weniger perfekt aufgebaute Kristallite schmelzen bei einer tieferen Temperatur als große Kristallite. Charakteristisch für jeden teilkristallinen Polymerwerkstoff ist dabei die Schmelz- bzw. Kristallitpeaktemperatur $T_K$ . Die Lage des Peaks auf der Temperaturachse ist durch die Anfangs- ($T_A$ ), Peak- ($T_K$ ) und Endtemperatur ($T_E$) gekennzeichnet, die auch bei der Bestimmung anderer thermodynamischer Eigenschaften, wie der spezifischen Enthalpie, von Wichtigkeit sind.

Trägt man den Wärmestrom $\dot H (T)$ über der Temperatur $T$ auf, so erhält man bei teilkristallinen Thermoplasten folgenden typischen Verlauf.

Die spezifische Wärmekapazität $c$ liegt für Kunststoffe im Bereich von 0,1 bis 5 kJ/kg K. Die folgende Abbildung gibt beispielhaft die spezifische Wärmekapazität $c$ in Abhängigkeit von der Temperatur für ein teilkristallines Polyamid wieder.

Amorphe Polymere zeigen einen gegenüber teilkristallinen Polymeren unterschiedlichen Wärmekapazitätsverlauf $c(T)$. Bei $T_G$ ist eine deutliche Niveauänderung, im Verlauf der spezifischen Wärmekapazität $c$ zu erkennen.

Die folgende Abbildung gibt die spezifische Wärmekapazität $c$ in Abhängigkeit von der Temperatur für ein amorphes Polystyrol wieder.

Die Stoffdaten aus der DSC-Analyse werden nun für die Simulation mit REX / PSI / SIGMA für den Bereich oberhalb der Schmelzendtemperatur bzw. der Endtemperatur des Erweichungsbereichs $T_E$ , entsprechend der gestrichelten Linien durch eine lineare Approximationsfunktion der Form:

$$c_p(T) = c_{p,0} + c_{p,m}\cdot T$$

beschrieben. Dabei kennzeichnet der Index $0$ den Stoffwert bei der Temperatur $0°C$, der Index $m$ gibt die Steigung der Stoffwertfunktion an.

Da REX / PSI / SIGMA eine Berücksichtigung des Druckeinflusses nicht vorsieht, sollte die Bestimmung der thermodynamischen Materialkennwerte jeweils für einen mittleren Druck erfolgen [Mel95].

Die spezifische Enthalpie $∆h$ ergibt sich aus der Integration der spezifischen Wärmekapazität $c$ in den Grenzen $T_1$ und $T_2$ , deren Verlauf sich aus der DSC-Analyse ermitteln lässt. So erhält man die Wärmemenge, die je Masseneinheit des Polymers zugeführt werden muss. Es gilt:

$$Δh = \int \limits_ {T_1}^{T_2} c_p(T)dT$$

Für die Simulation mit REX / PSI / SIGMA interessiert man sich jedoch nicht für den funktionalen Zusammenhang von spezifischer Enthalpie $∆h$ über der Temperatur $T$, sondern für die für teilkristalline Polymere oder Blends charakteristischen Kennwerte wie Feststoffenthalpie $∆h_F$ und Aufschmelzenthalpie $∆h_A$ .

Die Ermittlung dieser Kennwerte wird im folgenden beispielhaft für ein teilkristallines Polyamid aufgezeigt. Der Aufschmelzvorgang wird durch Wärmemengenzufuhr (Schmelzwärme) in das System eingeleitet und ist bei Erreichen der Endtemperatur $T_E$ beendet. Die bei dieser Temperatur auftretende gesamte Enthalpiedifferenz ist der Energieaufwand, um das Polymer vollständig aufzuschmelzen.

Durch Tangentenbestimmung im unteren und oberen Temperaturbereich lässt sich diese Gesamtenthalpie $∆h$ in die Teilenthalpien $∆h_F$ und $∆h_A$ zerlegen. Mit einer Statistiksoftware lässt sich im unteren Temperaturbereich durch Vergleich der Bestimmtheitsmaße bei verschieden großen Temperaturintervallen [$T_F$ ; $T$ ] eine sinnvolle Approximation erzielen, während im oberen Temperaturbereich das Intervall [$T_E$ ; $T_{MAX}$] als Berechnungsgrundlage für die Tangentenbestimmung dient.

Amorphe Systeme zeigen aufgrund des fehlenden Aufschmelzverlaufs einen prinzipiell anderen Enthalpieverlauf als teilkristalline Polymere. Als charakteristischer Kennwert für jedes amorphe Polymer wird lediglich die Feststoffenthalpie $∆h_F$ zu Grunde gelegt. Diese entspricht der Enthalpiegröße am Ende des Erweichungsbereiches bei der Endtemperatur $T_E$.

Die folgende Abbildung zeigt beispielhaft die Ermittlung der Feststoffenthalpie $∆h_F$ für ein amorphes Polystyrol.

Bei Wärmeleitungsvorgängen unterscheidet man zwischen stationären und instationären Temperaturfeldern. Bei stationären Temperaturfeldern tritt die Wärmeleitfähigkeit $λ$ als Stoffwert auf. Sie ist temperaturabhängig und für amorphe Werkstoffe kleiner als für teilkristalline [Mel95].

Die Ermittlung der Wärmeleitfähigkeit $λ$ kann beispielsweise mit einem Gerät des Typs Thermoflixer der Firma SWO Polymertechnik durchgeführt werden. Das Messprinzip ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Die Bestimmung erfolgt über eine beheizte Prüfkammer, in der sich eine definierte Probenmasse $m$ befindet und einen in Kontakt mit der Probe befindlichen Messfühler enthält. Der Probe wird hierbei über einen gewissen Zeitraum, der sogenannten Messzeit $t$, eine Energiemenge $\dot Q$ zugeführt.

Die Temperaturänderung $∆T$, die die Probe innerhalb dieser Messzeit erfährt, wird vom Messfühler erfasst. Aus der zugeführten Wärmemenge $Q$ und der Temperaturänderung $∆T$ kann nun die Wärmeleitfähigkeit $λ = f(\dot Q , ΔT)$ ermittelt werden. Der Vorteil dieses Messprinzips gegenüber dem Plattenmodell nach DIN 52 612 besteht in der Möglichkeit der Erfassung von Wärmeleitfähigkeiten $λ$ auch in sehr hohen Temperaturbereichen, die bei polymeren Werkstoffen von besonderem Interesse sind.

Die nächste Abbildung zeigt einen prinzipiellen Verlauf der Wärmeleitfähigkeit $λ$ über der Temperatur $T$ für teilkristalline Polymere am Beispiel eines Polypropylens.

Für die Simulation benötigt man entsprechend der gestrichelten Linie in der Abbildung unten eine Geradengleichung des Typs:

$$λ(T) = λ_0 + λ_m \cdot T$$

Die zu ermittelnden Größen der Gleichung sind die spezifische Wärmeleitfähigkeit bei $0°C$ ($λ_0$) und die Steigung der Wärmeleitfähigkeitsfunktion ($λ_m$).

Der Verlauf der Wärmeleitfähigkeit $λ$ über der Temperatur für ein amorphes Polystyrol ist ergänzend dargestellt.

In der Auswertung der DSC-Analysen wird der Verlauf der zugeführten Energie über der Temperatur aufgetragen. Die Kristallisationstemperatur $T_K$ ist bei teilkristallinen Thermoplasten, im Kurvenverlauf am Peakmaximum abzulesen. Aus dem Wendepunkt im Verlauf lässt sich bei amorphen Thermoplasten die Glasübergangstemperatur $T_G$ ablesen.

Trägt man den Verlauf des spezifischen Volumens $v$ über der Temperatur $T$ für ein teilkristallines Polymer auf, so erkennt man, dass sich das Verhalten über den ganzen Temperaturbereich mathematisch nur schwer oder gar nicht beschreiben lässt.

Ergänzend ist in der nächsten Abbildung der Verlauf des spezifischen Volumens $v$ über der Temperatur $T$ für ein amorphes Polystyrol dargestellt.

Für die Simulation schmelzedominierter Extruder interessiert jedoch primär der Temperaturbereich oberhalb der Schmelz- $T_K$ bzw. der Glasübergangstemperatur $T_G$ . REX / PSI / SIGMA benötigt für die Simulation eine Beschreibung der Volumen- bzw. Dichtefunktion in der Form:

$$v(T) = v_0 + v_m \cdot T$$ $$ρ(T) = ρ_0 - ρ_m \cdot T$$

Hierbei sind: $v_0$ das spezifische Volumen $v_m$ die Steigung der Volumenfunktion $ρ_0$ die spezifische Dichte $ρ_m$ die Steigung der Dichtefunktion

Die Vorgehensweise zur Bestimmung der Schüttdichte $ρ_s$ ist im Normblatt DIN 53 466 festgelegt.

Die Schüttdichte $ρ_s$ ist eine Größe, die im Wesentlichen zur Bestimmung des maximalen Massendurchsatzes $\dot m$ der Anlage und des Füllgrades $f$ im Feststoffförderbereich dient. So kann z. B. der erforderliche Drehzahlbereich für einen geforderten Durchsatz ermittelt oder bei einer bestimmten Schneckendrehzahl der maximal mögliche Durchsatz bestimmt werden. Die Auswertung erfolgt über folgende Gleichung:

$$ρ_s = \frac{m_1 - m_0}{V_0}$$

mit $m_1$ = Masse des mit der Probe gefüllten Behälters, $m_0$ = Masse des leeren Behälters und $V_0$ = Volumen des Behälters

Die Feststoffdichten können nach DIN 53 479 bestimmt werden. Hierbei handelt es sich um eine Methode (Auftriebsverfahren), die die Größe einer bestimmten Probenmasse an Luft mit der in einem flüssigen Medium (hier: dest. Wasser $ρ_{H_2O}$ = 1,000 g/cm³) vergleicht.

Für die Feststoffdichte der Probe gilt dann:

$$ρ = \frac{m_1 \cdot ρ_{H_2O}}{m_1 - m_2}$$

Hierin sind $m_1$ die Trockenmasse an Luft und $m_2$ die Probenmasse in einem auftreibenden Medium.

Bei der Bestimmung der Granulatgröße werden die Proben zunächst volumetrisch aus einer Gesamtheit von $n$ Granulatkörnern gemittelt und später in die Kugelform überführt. Die Bestimmung der Granulatgröße ist in der Abbildung schematisch dargestellt und ergibt sich aus der Beziehung:

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, den Granulatdurchmesser $d$ aus einer Gesamtheit von $n$ Proben über die Feststoffdichte $ρ$ und das Gesamtgewicht der Proben $m_{ges}$ zu ermitteln. Es gilt für die Gesamtheit der $n$ Proben:

$$V_{ges} = \frac{m_{ges}}{ρ}$$

Für einen einzelnen gemittelten Granulatkörper gilt dann:

$$V = \frac{V_{ges}}{n}$$

Der Granulatdurchmesser $d_{Kugel}$ kann anschließend mit der Gleichung bestimmt werden.

[Fer80]

[Hen89]

[Mel95]

Die rheologischen und auch thermodynamischen Kenngrößen von Zweistoffsystemen (z.B. Feststoff- und Aufschmelzenthalpien von Polymermischungen) können i. a. nicht ausreichend genau über eine lineare Mittelung der Daten der Ausgangskomponenten bestimmt werden. Für die Simulation mit REX / PSI / SIGMA bedeutet dieser Sachverhalt, dass für zu simulierende Prozesse zuvor sämtliche Materialdaten für die Polymermischungen bestimmt werden sollten. Dies bedeutet aber einen enormen Aufwand an Messungen noch vor dem eigentlichen Simulationsdurchgang. Stehen aber nur die Materialdaten der Einzelkomponenten zur Verfügung, werden bei den Berechnungen mit REX / PSI / SIGMA die Materialdaten von Mischungen aus den Materialdaten der Einzelkomponenten wie folgt berechnet.

Für die Berechnung der Viskosität von zweiphasigen Polymerblends gibt es in der Literatur je nach Anspruch an Genauigkeit einfachere oder mathematisch kompliziertere Mischungsregeln. In den Simulationssoftwares REX / PSI / SIGMA werden folgende allgemeine Mischungsregeln verwendet:

zum einen die einfachste und die am weitesten verbreitete logarithmische Mischungsregel von Arrhenius:

$$log η_{MIX} = w_1 \cdot log η_1 + w_2 \cdot log η_2$$

zum anderen die Mischungsregel nach Mantford:

$$(η_{MIX})^{1/3,4} = w_1 \cdot η_1^{1/3,4} + w_2 \cdot η_2^{1/3,4}$$

Die Bestimmung der Mischungsviskosität aus den Viskositäten der Einzelkomponenten $η_i$ und den Gewichtsanteilen $W_i$ mit REX / PSI / SIGMA ist in folgender Abbildung dargestellt.

Um die Viskosität $η_{MIX}$ bei gegebener Schergeschwindigkeit $\dot γ$ für eine Polymermischung berechnen zu können, werden zunächst die Mischungsviskositäten $η_{MIX1}$ und $η_{MIX2}$ für die definierten Schergeschwindigkeiten $\dot γ_1 = 0,9 \cdot \dot γ$ und $\dot γ_2 = 1,1 \cdot \dot γ$ bestimmt. Für den Ansatz nach Mantford gilt:

$$(η_{MIX1})^{1/3,4} = w_1 \cdot η_1.1^{1/3,4} + w_2 \cdot η_2.1^{1/3,4}$$ $$(η_{MIX2})^{1/3,4} = w_1 \cdot η_1.2^{1/3,4} + w_2 \cdot η_2.2^{1/3,4}$$

Analog dazu ergibt sich für die logarithmische Mischungsregel (Arrhenius):

$$log η_{MIX1} = w_1 \cdot log η_1.1 + w_2 \cdot log η_2.1$$ $$log η_{MIX2} = w_1 \cdot log η_1.2 + w_2 \cdot log η_2.2$$

Sind diese Größen bekannt, folgt für den Fließexponenten $n$ und die Konsistenz $K$ des approximierten Blendsegments zwischen $\dot γ_1 = \dot γ_{MIX1}$ und $γ_2 = \dot γ_{MIX2}$:

$$n = 1 + \frac{log(\frac{η_{MIX1}}{η_{MIX2}})}{log(\frac{\dotγ_{MIX1}}{\dotγ_{MIX2}})}$$

$$K = \frac{η_{MIX1}}{\dotγ_{MIX1}^{n-1}}$$

Die gesuchte Viskosität $η_{MIX}$ ergibt sich schließlich durch:

$$η_{MIX} = K \cdot \dotγ_{MIX}^{n-1}$$

Liegt die dispergierte Phase in fester oder hochviskoser Form vor, kann man von gefüllten Systemen sprechen. Für die Simulation muss bei einem gefüllten Polymer zuerst das Basispolymer und dessen Partikeldurchmesser definiert werden. Anschließend wird der Füllstoff definiert. Hierzu sind eine Reihe von Materialdaten nötig: der Partikeldurchmesser $d$, der Massenanteil $w$, die Feststoffdichte $ρ$, die Schüttdichte $ρ_s$, die Wärmeleitfähigkeit des Feststoffs $λ_0$, sowie die spezifische Wärmekapazität $c_0$ . Ähnlich dem Polymerblend stehen bei gefüllten Polymeren auch zwei Mischungsgleichungen zur Verfügung. Zum einen der einfache Ansatz nach Einstein:

$$η_{MIX} = η_1 \cdot (1 + 2,5 \cdot Φ_2)$$

und schließlich der nach Hashin:

$$η_{MIX} = η_1 \cdot [1+2 \cdot \frac{Φ_2}{1-Φ_2}]$$

In diesen Gleichungen bedeuten $η_1$ die Viskosität des Basispolymers und $Φ_2$ der Volumenanteil der zugesetzten Komponente.

Experimentell bestimmte Kristallitschmelztemperaturen, sowohl für Polymerblends als auch für gefüllte Systeme (Compounds) sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Für Polymerblends wird mit REX / PSI / SIGMA die Kristallitschmelztemperatur $T_{K.MIX}$ aus den Gewichtsanteilen $w_i$ und den Kristallitschmelztemperaturen $T_{Ki}$ wie folgt berechnet:

$$T_{K.MIX} = w_1 \cdot T_{K.1} + w_2 \cdot T_{K.2}$$

während für Compounds gilt:

$$T_{K.MIX} = T_{K.1}$$

Die Kristallitschmelztemperatur $T_{K.MIX}$ eines gefüllten Polymers (Compound) wird somit gleich der Kristallitschmelztemperatur $T_{K1}$ des Basispolymers angenommen.

Zur Beschreibung der spezifischen Wärmekapazität $c$ von Mehrstoffsystemen geht man sowohl bei Polymerblends als auch bei gefüllten Systemen von einer einheitlichen Mischungsregel aus. Für die spezifische Wärmekapazität der Mischung $c_{MIX}$ gilt:

$$c_{MIX} = w_1 \cdot c_1 + w_2 \cdot c_2$$

wobei $w_i$ den Gewichtsanteilen und $c_i$ den spezifischen Wärmekapazitäten der Einzel- bzw. zugesetzten Komponenten entspricht.

Der spezifische Wärmekapazität $c_{0.MIX}$ der Mischung ergibt sich somit zu:

$$c_{0.MIX} = w_1 \cdot c_{0.1} + w_2 \cdot c_{0.2}$$

In der nächsten Abbildung ist der Verlauf der spezifischen Wärmekapazität $c_0$ für Polymerblends und gefüllte Systeme dargestellt. Auch die Steigung des Wärmekapazitätverlaufs $c_{m.MIX}$ der Mischung wird für beide Systeme in Analogie zu zu folgender Gleichung bestimmt:

$$c_{m.MIX} = w_1 \cdot c_{m.1} + w_2 \cdot c_{m.2}$$

Der Zusammenhang zwischen spezifischer Wärmekapazität $c_m$ und den Gewichtsanteilen für Polymerblends und gefüllte Systeme wird beispielhaft dargestellt:

Die spezifische Enthalpie ergibt sich zu:

$$Δh = w_1 \cdot Δh_1 + w_2 \cdot Δh_2 = w_1 \cdot {(Δh_F + Δh_A)}_1 + w_2 \cdot {(Δh_F + Δh_A)}_2$$

Index 1 bezieht sich auf das Polymer 1 und Index 2 auf das Polymer 2.

Zur Beschreibung der spezifischen Enthalpie $Δh$ von gefüllten Systemen (Compounds) wird hingegen folgender Ansatz gewählt:

$$Δh = w_1 \cdot {(Δh_F + Δh_A)}_1 + w_2 \cdot c_2 \cdot ΔT$$

Index 1 bezieht sich hier auf das Polymer, Index 2 kennzeichnet nun den Füllstoff.

Die Feststoff- $Δh_F$ und Aufschmelzenthalpie $Δh_A$ bei Polymerblends können wie folgt über die Enthalpiegrößen der Einzelkomponenten bestimmt werden. Für die Feststoff- $Δh_{F.MIX}$ bzw. Aufschmelzenthalpie der Mischung $Δh_{A.MIX}$ gilt dann:

$$Δh_{F.MIX} = w_1 \cdot Δh_{F.1} + w_2 \cdot Δh_{F.2}$$

$$Δh_{A.MIX} = w_1 \cdot Δh_{A.1} + w_2 \cdot Δh_{A.2}$$

Analog berechnen sich bei Compounds (gefüllten Systemen) die Feststoff- $Δh_{F.MIX}$ und Aufschmelzenthalpien $Δh_{A.MIX}$ der Mischung folgendermaßen:

$$Δh_{F.MIX} = w_1 \cdot Δh_{F.1}$$

$$Δh_{A.MIX} = w_1 \cdot Δh_{A.1} + w_2 \cdot c_2 \cdot ΔT$$

Die folgenden Abbildungen zeigen exemplarisch Ergebnisse experimenteller Untersuchungen der spezifischen Feststoff- $∆h_F$ und spezifischen Aufschmelzenthalpie $∆h_A$ von Mehrstoffsystemen.

In den Simulationsprogrammen REX / PSI / SIGMA werden zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit $λ_{MIX}$ für Mehrstoffsysteme aus den Werten der Einzelpolymere ($w_i$, $λ_i$) folgende Gleichungen zu Grunde gelegt. Für Polymerblends gilt:

$$λ_{MIX} = w_1 \cdot λ_1 + w_2 \cdot λ_2$$

Für gefüllte Polymere (Compounds) wird folgende Beziehung zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit angenommen:

$$λ_{MIX} = λ_2 \cdot \frac{λ_1 + 2 \cdot λ_2 - 2 \cdot Φ_1 \cdot (λ_2 - λ_1)}{λ_1 + 2 \cdot λ_2 + Φ_1 \cdot (λ_2-λ_1)}$$

Während die Indizes 1 und 2 bei Polymerblends den gemischten Einzelpolymeren 1 und 2 entsprechen, gilt bei gefüllten Systemen für das Basispolymer Index 1 und für den zugesetzten Füllstoff Index 2. Für jede Komponente gilt nach die lineare Annäherung:

$$λ_i = λ_{0.i} + λ_{m.i} \cdot T$$

Hierin ist $λ_{0.i}$ der Wert der linearen Approximationsfunktion für die Wärmeleitfähigkeit einer Komponente bei der Temperatur $T$ = 0°C, während $λ_{m.i}$ der Steigung des approximierten Wärmeleitfähigkeitsverlaufs der Komponente für Temperaturen oberhalb der Schmelztemperatur entspricht. Bei Polymerblends ergibt sich die Wärmeleitfähigkeit der Mischung $λ_{0.MIX}$ zu:

$$λ_{0.MIX} = w_1 \cdot λ_{0.1} + w_2 \cdot λ_{0.2}$$

Die Steigung der Wärmeleitfähigkeitsfunktion der Mischung $λ_{m.MIX}$ berechnet sich mit:

$$λ_{m.MIX} = w_1 \cdot λ_{m.1} + w_2 \cdot λ_{m.2}$$

Für gefüllte Polymere (Compounds) ergeben sich zur Bestimmung von $λ_{0.MIX}$ und $λ_{m.MIX}$ folgende Mischungsgleichungen:

$$λ_{0.MIX} = λ_{0.2} \cdot \frac{λ_{0.1} + 2 \cdot λ_{0.2} -2 \cdot Φ_1 \cdot (λ_{0.2} - λ_{0.1})}{λ_{0.1} + 2 \cdot λ_{0.2} + Φ_1 \cdot (λ_{0.2} - λ_{0.1})}$$

und

$$λ_{m.MIX} = λ_{m.2} \cdot \frac{λ_{m.1} + 2 \cdot λ_{m.2} -2 \cdot Φ_1 \cdot (λ_{m.2} - λ_{m.1})}{λ_{m.1} + 2 \cdot λ_{m.2} + Φ_1 \cdot (λ_{m.2} - λ_{m.1})}$$

Die Berechnung der Feststoffdichte und Schmelzedichte $ρ_{MIX}$ von Polymerblends und Compounds aus den Dichten $ρ_i$ und Gewichtsanteilen $w_i$ der Einzelpolymere bzw. des Basispolymers und des Füllstoffes folgt über die identische Gleichung:

$$\frac {1}{ρ_{MIX}} = \frac{w_1}{ρ_1} + \frac{w_2}{ρ_2}$$

Die Berechnung des spezifischen Volumens $v$ von Polymerblends und Compounds aus den spezifischen Volumina $v_i$ und Gewichtsanteilen $w_i$ der Einzelpolymere bzw. des Basispolymers und des Füllstoffes erfolgt über die Gleichung:

$$v_{MIX} = w_1 \cdot v_1 + w_2 \cdot v_2$$

Für Polymerblends und gefüllte Polymere (Compounds) ergeben sich zur Bestimmung von $v_{0.MIX}$ und $v_{m.MIX}$ folgende Mischungsgleichungen:

$$v_{0.MIX} = w_1 \cdot v_{0.1} + w_2 \cdot v_{0.2}$$

und

$$v_{m.MIX} = w_1 \cdot v_{m.1} + w_2 \cdot v_{m.2}$$

Zur Ermittlung der Schüttdichte $ρ_{S.MIX}$ von Mehrstoffsystemen wie Polymerblends und Compounds mit den Granulatdurchmessern $d_1$ und $d_2$ (wobei $d_1$ < $d_2$ gelten soll) der Einzelkomponenten bzw. des Basispolymers und des Füllstoffes müssen zunächst einige Betrachtungen angestellt werden. In der folgenden Abbildung ist die Schüttdichte $ρ_{S.MIX}$ einer Schüttung aus zwei verschiedenen Kornfraktionen dargestellt.

Dabei soll sowohl für das Polymerblend als auch für das gefüllte System (Compound) gelten, dass der Granulatdurchmesser der kleineren Kornfraktion sehr viel kleiner als der der größeren Fraktion ist ($d_1$«$d_2$). Trägt man die Schüttdichte $ρ_{S.MIX}$ einer Schüttung aus zwei verschiedenen Kornfraktionen über dem Gewichtsanteil der kleineren Fraktion $w_1$ auf, so hat jeder Verlauf unabhängig vom Lückenanteil $e$ ein Maximum bei der Sättigungskonzentration $w_1 = w_{Sät}$. Die Sättigungskonzentration ergibt sich zu:

$$w_{Sät} = \frac {ρ_2 \cdot (1-p_∞) \cdot (1-e)}{ρ_1 + ρ_2 \cdot (1-p_∞) \cdot (1-e)}$$

mit dem Grenzausfüllgrad für eine Kfz-Kugelpackung:

$$p_∞ = \frac {V_{Kugel}}{V_{Gesamt}} = \frac {π}{3 \cdot √2} ≈ 0,74$$

Hier ist $V_{Kugel}$ das Volumen, welches die größere Materialkomponente (Mat. 2) bezogen auf das Gesamtvolumen $V_{Gesamt}$ maximal einnehmen kann. Der Lückenanteil, der zu eng ist, als dass die kleine Materialkomponente (Mat. 1) hineinpassen würde, wird $e$ = 0,25 gesetzt. Daraus ergibt sich für die Sättigungsschüttdichte (Schüttdichte des Mischbereiches):

$$ρ_{Sät} = ρ_1 + (1-ρ_∞) \cdot (1-e) \cdot ρ_2$$

Zur Bestimmung der Schüttdichte $ρ_{S.MIX}$ von Mehrstoffsystemen bei Polymerblends und Compounds mit ($d_1$ < $d_2$) werden nun drei Fälle unterschieden. Die Vorgehensweise der drei Berechnungsarten ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Als Unterteilungskriterium gilt bei allen Berechnungsarten das Verhältnis der Kornfraktionen ($d_1$ / $d_2$). So geht man zunächst von nur zwei verschiedenen Berechnungsansätzen aus ($d_1<0,25 \cdot d_2$ bzw. $d_1>0,75 \cdot d_2$), während sich der dritte Berechnungsansatz aus der linearen Mittelung der beiden anderen im Übergangsbereich berechnet ($0,25 \cdot d_2 < d_1 < 0,75 \cdot d_2$).

• falls $w < w_{Sät}$

$$\rho_{Mix} = \left(1 - \frac{w_1}{w_{Sät}}\right)\rho_1 + \frac{w_1}{w_{Sät}} \rho_{Sät}$$

• falls $w \geq w_{Sät}$

$$\rho_{Mix} = \left(1 - \frac{1 - w_1}{1 - w_{Sät}}\right)\rho_2 + \frac{1 - w_1}{1 - w_{Sät}} \rho_{Sät}$$

$$\frac{1}{\rho_{Mix}} = \frac{w_1}{\rho_1} + \frac{w_2}{\rho_2}$$

$$\rho_{Mix} = \frac{(\rho_{Mix I} + \rho_{Mix II})}{2}$$

$\rho_{Mix}$ = Lineare Mittelung von Berechnungsart I und II

Zur Beschreibung des Materialverhaltens von Polymermischungen (Polymerblends) müssen dieselben Materialeigenschaften untersucht und beschrieben werden wie bei reinen Polymeren.

Falls zusätzlich zu allgemeinen Berechnungen die Morphologieentwicklung eines Polymerblends berechnet werden soll, müssen auch die grenzflächenenergetischen Eigenschaften der Polymerkombination untersucht und beschrieben werden.

Die Grenzflächenspannung kann experimentell durch verschiedene Methoden bestimmt werden, unter anderem mit:

• Breaking Thread,
• Pendant Drop und
• Spinning Drop.

Die Breaking Thread Methode beruht auf der theoretischen Grundlage der Beschreibung des Zerfalls eines flüssigen Newtonschen Fadens in einer Newtonschen Matrix. Allerdings beschränkt sich diese Methode auf Mehrstoffsysteme, bei denen die Schmelztemperatur der dispersen Phase über der der Matrix liegt. Außerdem sollte die Nullviskosität $η_0$ (Viskosität $η$ bei $\dot γ → 0$) der Matrix 40 kPas nicht überschreiten. Den schematischen Aufbau des für die Messungen aufgebauten Versuchsstandes zeigt die nächste Abbildung. Während der gesamten Versuchsdauer wird der Heiztisch mit Stickstoff gespült. Vor Beginn der Messung wird das System im Heiztisch für ungefähr 10 Minuten bei 220 °C getempert, um Retardationseffekte während des Aufschmelzens zu minimieren. Anschließend folgt das Hochheizen des Systems auf die gewünschte Versuchstemperatur. Sobald auch der Faden aufgeschmolzen ist, bilden sich Kapillarwellen an seiner Grenzfläche zur Matrix. Der gesamte Vorgang wird mit einer CCD- Kamera aufgezeichnet.

Diese sinusförmigen Kapillarwellen oder Fadeneinschnürungen werden in großen Zeitintervallen in einen Rechner eingelesen und ausgewertet.

PLATZHALTER ABBILDUNG 111: Versuchsaufbau zur Erfassung und Auswertung von dispersen Fadenzerfallsprozessen mit einem Heiztisch zur Bestimmung der Grenzflächenspannung

Von dem Faden werden der Ausgangsdurchmesser $D_0$, die Wellenlänge $λ$ der größte und der kleinste Fadendurchmesser $D{max}$ und $D_{min}$ gemessen. Die folgende Abbildung zeigt die prinzipielle Form einer solchen Kapillarwelle mit ihren für die theoretische Betrachtung kennzeichnenden Größen.

Die Grenzflächenspannung $γ_{12}$ ist dann eine Funktion der Amplitudenwachstumsrate $q$, der dimensionslosen Wachstumsrate $Ω$, der Matrixviskosität $η_c$ sowie des Fadenaußendurchmessers $D_0$ und ergibt sich zu:

$$γ_{12} = \frac {q \cdot η_c \cdot D_0}{Ω(p,X)}$$

Die Amplitudenwachstumsrate $q$ kann aus der Steigung $S$ der relativen Amplitude $log (2 \cdot α_s / D_0)$ über der Zeit $t$ bestimmt werden:

$$q = S \cdot ln 10$$

Für die Schwingungsamplitude gilt hierbei:

$$α_s = \frac {D_{max} - D_{min}}{4}$$

Zur Berechnung der Grenzflächenspannung $γ_{12}$ wird in dieser Arbeit die dimensionslose Wachstumsrate $Ω(p,X)$ verwendet. Hierin gelten für das Viskositätsverhältnis:

$$p = \frac {η_d}{η_c}$$

und für die Wellenzahl, die experimentell gemessen wird:

$$X= \frac {π \cdot D_0}{λ}$$

In der nächsten Abbildung ist der Verlauf der dimensionslosen Wachstumsrate $Ω$ in Abhängigkeit vom Viskositätsverhältnis $p$ und der Wellenzahl $X$ dargestellt. Die durchgezogene Linie zeigt die Maxima der dimensionslosen Wachstumsrate $Ω_m$ .

Trägt man die ermittelten $γ_{12}$ - Werte für unterschiedliche Temperaturen $T$ auf, so können die Wertepaare oberhalb der Kristallitschmelz- $T_K$ für teilkristalline Polymerpaare bzw. Glasübergangstemperatur $T_G$ für amorphe Polymerpaare durch eine lineare Approximationsfunktion der Form angenähert werden:

$$γ_{12} (T) = γ_{12.0} - γ_{12.m} \cdot T$$

PLATZHALTER ABBILDUNG 114: Dimensionslose Wachstumsrate als Funktion der Wellenzahl X und des Viskositätsverhältnisses p

Der Wert $γ_{12.0}$ ist hierbei der Schnittpunkt der Approximationsfunktion mit der Ordinatenachse, während $γ_{12.m}$ der Steigung dieser Funktion entspricht. In folgender Abbildung ist der prinzipielle Verlauf der Grenzflächenspannung $γ_{12}$ über der Temperatur $T$ für ein Polypropylen (PP) / Polyamid (PA6)- Blend prinzipiell dargestellt.

In der Literatur findet man für den Betrag der Steigung der Geraden den Näherungswert $γ_{12.m} = 0,01 mN/m°C$. In der Realität schwankt dieser Wert aber von Polymerpaar zu Polymerpaar. Damit genügen zur Ermittlung der Approximationsfunktion lediglich zwei Messungen der Grenzflächenspannung $γ_{12}$ bei zwei unterschiedlichen Temperaturen $T$. So kommt man bei der Breaking Thread Methode mit Hilfe der erweiterten Approximationsfunktion zu einer schnellen Ermittlung der Grenzflächenspannungen $γ_{12}$ oberhalb der Schmelztemperatur $T_K$ bei geringem messtechnischen Aufwand.

Die Methode des hängenden Tropfens (pendant drop method) ist das vielseitigste und zuverlässigste Verfahren, sowohl zur Messung der Oberflächen- als auch der Grenzflächenspannung von Polymeren. Das liegt einerseits daran, dass sich der Gleichgewichtszustand zwischen den Polymerphasen im Vergleich zu anderen Messverfahren häufig schnell einstellt und andererseits an der Möglichkeit, die Messungen auch in inerter Atmosphäre durchzuführen.

Das Verfahren beruht auf der optischen Vermessung der Gestalt eines Flüssigkeits- oder Schmelzetropfens, der sich im hydrostatischen Gleichgewicht mit der umgebenden Phase befindet. Dieses Profil wird mit der theoretisch vorhersagbaren Tropfenform verglichen, die sich auf der Grundlage der Gauss-Laplace-Gleichung berechnen lässt. Die Grenzflächen- oder Oberflächenspannung ergibt sich dann zu:

$$γ_{12} = g \cdot Δρ \cdot d_1^2 \cdot \frac{1}{H}$$

Darin ist $g$ die Erdbeschleunigung, $∆ρ$ die Dichtedifferenz der Polymerphasen und $\frac {1}{H}$ ein Korrekturfaktor, dessen Wert in Abhängigkeit des Formfaktors $S$ mit:

$$S= \frac {d_2}{d_1}$$

ermittelt wird. Dabei ist $d_1$ der größte Tropfendurchmesser und $d_2$ der Tropfendurchmesser im Abstand $d_1$ vom Scheitelpunkt. Werte des Korrekturfaktors $\frac {1}{H}$ lassen sich auf der Grundlage von Tabellen auf numerische Weise mit Hilfe der folgenden Gleichungen ermitteln:

$$\frac {1}{H} = (\frac {0,32720}{S^{2,56651}}) - 0,97553 \cdot S^2 + 0,84059 \cdot S - 0,18069$$

für $0,401 ≤ S ≤ 0,46$,

$$\frac {1}{H} = (\frac {0,31968}{S^{2,39725}}) - 0,46898\cdot S^2 + 0,50059\cdot S - 0,13261$$

für $0,46≤ S ≤ 0,59$,

$$\frac {1}{H} = (\frac {0,31522}{S^{2,62435}}) - 0,11714\cdot S^2 + 0,15756\cdot S - 0,05285$$

für $0,59≤ S ≤ 0,68$,

$$\frac {1}{H} = (\frac {0,31345}{S^{2,61267}}) - 0,09155\cdot S^2 + 0,14701\cdot S - 0,05877$$

für $0,68≤ S ≤ 0,90$ und

$$\frac {1}{H} = (\frac {0,30715}{S^{2,84636}}) - 0,69116 \cdot S^3 + 1,08315\cdot S^2 - 0,18341\cdot S - 0,20970$$

für $0,90≤ S ≤ 1,00$.

Damit kann die Grenzflächen- oder Oberflächenspannung aus den Werten zweier Durchmesser sowie den Schmelzedichten berechnet werden. Es muss jedoch sichergestellt sein, dass sich der Schmelzetropfen mit seiner umgebenden Phase im Gleichgewichtszustand befindet. Bei niedrigviskosen Newtonschen Fluiden ist dies normalerweise sofort der Fall, während der Vorgang besonders bei der Messung hochviskoser viskoelastischer Medien bis zu einigen Stunden dauern kann.

Abgesehen vom optischen Aufwand ist diese Methode apparativ einfach, erfordert in der Praxis jedoch erhebliches Geschick zur Bildung auswertbarer Tropfen. Des Weiteren müssen zur erfolgreichen Versuchsdurchführung verschiedene Voraussetzungen und Einflüsse berücksichtigt werden. Wie in der Gleichung $γ_{12} = g \cdot Δρ \cdot d_1^2 \cdot \frac{1}{H}$ zu sehen ist, geht in die Berechnung der Grenzflächen- und Oberflächenspannung die Differenz der Schmelzedichten ein, die für Polymere bei beliebigen Temperaturen in der Literatur nur vereinzelt vorliegen. Somit müssen diese Daten experimentell bestimmt werden und sind daher mit einem Fehler behaftet. Bei der praktischen Anwendung dieses Verfahrens existieren zudem methodische Restriktionen. Bei der Messung der Grenzflächenspannung wird der Schmelzetropfen in der kontinuierlichen Schmelzephase eines zweiten Polymers gebildet. Notwendige Bedingungen für eine geeignete Materialkombination sind jedoch Unverträglichkeit der Polymere sowie eine nicht zu hohe Schmelzeviskosität der kontinuierlichen Phase, die zur optischen Erfassung der Tropfenkontur zusätzlich transparent sein muss. Des Weiteren kann beim Aufschmelzprozess beider Phasen aufgrund von Ausgasungs- oder Zersetzungserscheinungen Blasenbildung auftreten, die zu einer veränderten Tropfenform und somit unrealistischen Ergebnissen führt.

Das Messprinzip der Methode des rotierenden Tropfens (spinning drop method) beruht ebenfalls auf der Vermessung der Kontur eines Tropfens, die sich jedoch unter dem Einfluss der Zentrifugalkraft ausbildet. Rotiert eine zylindrische Kapillare, in der sich ein Tropfen und eine spezifisch schwerere Flüssigkeit befindet, mit konstanter hoher Geschwindigkeit (2000-8000 1/min) um ihre Längsachse, dann wird der Tropfen unter dem Einfluss der Zentrifugalkraft eine zylindrische Gestalt mit abgerundeten Enden annehmen.

Das Profil des Tropfens wird von der Grenzflächen- bzw. Oberflächenspannung, der Dichtedifferenz sowie der Zentrifugalkraft bestimmt. Da der Einfluss der Erdbeschleunigung vernachlässigbar ist, ergibt sich die Grenzflächenspannung (Oberflächenspannung) zu:

$$γ_{12} = \frac {Δρ \cdot ω^2}{4 \cdot Q}$$

mit $ω$ der Winkelgeschwindigkeit der Kapillare und einer Konstanten $Q$, definiert durch:

$$L_0 = \frac{(\frac{4}{3}) \cdot (Q \cdot R^3 +1)}{(Q \cdot R^3)^\frac{1}{3}}$$

In dieser Gleichung ist $L_0$ die Gleichgewichtslänge des rotierenden Tropfens und $R$ der Tropfenradius.

Diese Methode hat sich besonders für die Messung von Systemen mit extrem niedrigen Grenzflächenspannungen durchgesetzt. Durch moderne Mess- und Regeltechnik sind noch Messungen bis zu $10^{-5} - 10^{-6} mN/m$ möglich. Daneben zeichnet sich dieses Prinzip dadurch aus, dass die Grenzfläche durch keinen Fremdkörper gestört wird und zudem Entmischungsvorgänge sowie Zwischenphasenbildungen beobachtet werden können. Nachteilig wirkt sich bei dieser Methode das langsame Einstellen des Gleichgewichtszustandes aus. So wurde bei der Messung von Flüssigkeiten mittlerer Viskosität (300-500 Pas) ein entsprechender Zustand erst nach mehr als drei Stunden bei 6100 1/min erreicht.