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--- mischungsregeln_fuer_polymerblends [2025/09/23 15:48] – neelest
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-======Mischungsregeln für Polymerblends======
-Die rheologischen und auch thermodynamischen Kenngrößen von Zweistoffsystemen (z.B. Feststoff- und Aufschmelzenthalpien von
-Polymermischungen) können i. a. nicht ausreichend genau über eine lineare Mittelung der Daten der Ausgangskomponenten bestimmt werden. Für die Simulation
-mit REX / PSI / SIGMA bedeutet dieser Sachverhalt, dass für zu simulierende Prozesse zuvor sämtliche Materialdaten für die Polymermischungen bestimmt werden sollten. Dies bedeutet aber einen enormen Aufwand an Messungen noch vor dem eigentlichen Simulationsdurchgang. Stehen aber nur die Materialdaten der
-Einzelkomponenten zur Verfügung, werden bei den Berechnungen mit REX / PSI / SIGMA die Materialdaten von Mischungen aus den Materialdaten der Einzelkomponenten wie folgt berechnet.
-===== Rheologische Kenngrößen von Mehrstoffsystemen =====
-Für die Berechnung der Viskosität von zweiphasigen Polymerblends gibt es in der Literatur je nach Anspruch an Genauigkeit einfachere oder mathematisch kompliziertere Mischungsregeln. In den Simulationssoftwares REX / PSI / SIGMA werden folgende allgemeine Mischungsregeln verwendet:
-zum einen die einfachste und die am weitesten verbreitete logarithmische Mischungsregel von Arrhenius:
-$$log η_{MIX} = w_1 \cdot log η_1 + w_2 \cdot log η_2$$
-zum anderen die Mischungsregel nach Mantford:
-$$(η_{MIX})^{1/3,4} = w_1 \cdot η_1^{1/3,4} + w_2 \cdot η_2^{1/3,4}$$
-Die Bestimmung der Mischungsviskosität aus den Viskositäten der Einzelkomponenten $η_i$ und den Gewichtsanteilen $W_i$ mit REX / PSI / SIGMA ist in folgender Abbildung dargestellt.
-{{ :rex310_de_103.svg?nolink&700 |}}
-Um die Viskosität $η_{MIX}$ bei gegebener Schergeschwindigkeit $\dot γ$ für eine Polymermischung berechnen zu können, werden zunächst die Mischungsviskositäten $η_{MIX1}$ und $η_{MIX2}$ für die definierten Schergeschwindigkeiten $\dot γ_1 = 0,9 \cdot \dot γ$ und $\dot γ_2 = 1,1 \cdot \dot γ$ bestimmt. Für den Ansatz nach Mantford gilt:
-$$(η_{MIX1})^{1/3,4} = w_1 \cdot η_1.1^{1/3,4} + w_2 \cdot η_2.1^{1/3,4}$$
-$$(η_{MIX2})^{1/3,4} = w_1 \cdot η_1.2^{1/3,4} + w_2 \cdot η_2.2^{1/3,4}$$
-Analog dazu ergibt sich für die logarithmische Mischungsregel (Arrhenius):
-$$log η_{MIX1} = w_1 \cdot log η_1.1 + w_2 \cdot log η_2.1$$
-$$log η_{MIX2} = w_1 \cdot log η_1.2 + w_2 \cdot log η_2.2$$
-Sind diese Größen bekannt, folgt für den Fließexponenten $n$ und die Konsistenz $K$ des approximierten Blendsegments zwischen $\dot γ_1 = \dot γ_{MIX1}$ und $γ_2 = \dot γ_{MIX2}$:
-$$n = 1 + \frac{log(\frac{η_{MIX1}}{η_{MIX2}})}{log(\frac{\dotγ_{MIX1}}{\dotγ_{MIX2}})}$$
-$$K = \frac{η_{MIX1}}{\dotγ_{MIX1}^{n-1}}$$
-Die gesuchte Viskosität $η_{MIX}$ ergibt sich schließlich durch:
-$$η_{MIX} = K \cdot \dotγ_{MIX}^{n-1}$$
-Liegt die dispergierte Phase in fester oder hochviskoser Form vor, kann man von gefüllten Systemen sprechen. Für die Simulation muss bei einem gefüllten Polymer zuerst das Basispolymer und dessen Partikeldurchmesser definiert werden. Anschließend wird der Füllstoff definiert. Hierzu sind eine Reihe von Materialdaten nötig: der Partikeldurchmesser $d$, der Massenanteil $w$, die Feststoffdichte $ρ$, die Schüttdichte $ρ_s$, die Wärmeleitfähigkeit des Feststoffs $λ_0$, sowie die spezifische Wärmekapazität $c_0$ . Ähnlich dem Polymerblend stehen bei gefüllten Polymeren auch zwei Mischungsgleichungen zur Verfügung. Zum einen der einfache Ansatz nach Einstein:
-$$η_{MIX} = η_1 \cdot (1 + 2,5 \cdot Φ_2)$$
-und schließlich der nach Hashin:
-$$η_{MIX} = η_1 \cdot [1+2 \cdot \frac{Φ_2}{1-Φ_2}]$$
-In diesen Gleichungen bedeuten $η_1$ die Viskosität des Basispolymers und $Φ_2$ der Volumenanteil der zugesetzten Komponente.
-===== Thermodynamische Kenngrößen von Mehrstoffsystemen =====
-Experimentell bestimmte Kristallitschmelztemperaturen, sowohl für Polymerblends als auch für gefüllte Systeme (Compounds) sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Für Polymerblends wird mit REX / PSI / SIGMA die Kristallitschmelztemperatur $T_{K.MIX}$ aus den Gewichtsanteilen $w_i$ und den Kristallitschmelztemperaturen $T_{Ki}$ wie folgt berechnet:
-$$T_{K.MIX} = w_1 \cdot T_{K.1} + w_2 \cdot T_{K.2}$$
-während für Compounds gilt:
-$$T_{K.MIX} = T_{K.1}$$
-Die Kristallitschmelztemperatur $T_{K.MIX}$ eines gefüllten Polymers (Compound) wird somit gleich der Kristallitschmelztemperatur $T_{K1}$ des Basispolymers angenommen.
-{{ :rex310_de_104.svg?nolink&700 |}}
-Zur Beschreibung der spezifischen Wärmekapazität $c$ von Mehrstoffsystemen geht man sowohl bei Polymerblends als auch bei gefüllten Systemen von einer einheitlichen Mischungsregel aus. Für die spezifische Wärmekapazität der Mischung $c_{MIX}$ gilt:
-$$c_{MIX} = w_1 \cdot c_1 + w_2 \cdot c_2$$
-wobei $w_i$ den Gewichtsanteilen und $c_i$ den spezifischen Wärmekapazitäten der Einzel- bzw. zugesetzten Komponenten entspricht.
-Der spezifische Wärmekapazität $c_{0.MIX}$ der Mischung ergibt sich somit zu:
-$$c_{0.MIX} = w_1 \cdot c_{0.1} + w_2 \cdot c_{0.2}$$
-In der nächsten Abbildung ist der Verlauf der spezifischen Wärmekapazität $c_0$ für Polymerblends und gefüllte Systeme dargestellt. Auch die Steigung des Wärmekapazitätverlaufs $c_{m.MIX}$ der Mischung wird für beide Systeme in Analogie zu zu folgender Gleichung bestimmt:
-$$c_{m.MIX} = w_1 \cdot c_{m.1} + w_2 \cdot c_{m.2}$$
-{{ :rex310_de_105.svg?nolink&700 |}}
-Der Zusammenhang zwischen spezifischer Wärmekapazität $c_m$ und den Gewichtsanteilen für Polymerblends und gefüllte Systeme wird beispielhaft dargestellt:
-{{ :rex310_de_106.svg?nolink&700 |}}
-Die spezifische Enthalpie ergibt sich zu:
-$$Δh = w_1 \cdot Δh_1 + w_2 \cdot Δh_2 = w_1 \cdot {(Δh_F + Δh_A)}_1 + w_2 \cdot {(Δh_F + Δh_A)}_2$$
-Index 1 bezieht sich auf das Polymer 1 und Index 2 auf das Polymer 2.
-Zur Beschreibung der spezifischen Enthalpie $Δh$ von gefüllten Systemen (Compounds) wird hingegen folgender Ansatz gewählt:
-$$Δh = w_1 \cdot {(Δh_F + Δh_A)}_1 + w_2 \cdot c_2 \cdot ΔT$$
-Index 1 bezieht sich hier auf das Polymer, Index 2 kennzeichnet nun den Füllstoff.
-Die Feststoff- $Δh_F$ und Aufschmelzenthalpie $Δh_A$ bei Polymerblends können wie folgt über die Enthalpiegrößen der Einzelkomponenten bestimmt werden. Für die Feststoff- $Δh_{F.MIX}$ bzw. Aufschmelzenthalpie der Mischung $Δh_{A.MIX}$ gilt dann:
-$$Δh_{F.MIX} = w_1 \cdot Δh_{F.1} + w_2 \cdot Δh_{F.2}$$
-$$Δh_{A.MIX} = w_1 \cdot Δh_{A.1} + w_2 \cdot Δh_{A.2}$$
-Analog berechnen sich bei Compounds (gefüllten Systemen) die Feststoff- $Δh_{F.MIX}$ und Aufschmelzenthalpien $Δh_{A.MIX}$ der Mischung folgendermaßen:
-$$Δh_{F.MIX} = w_1 \cdot Δh_{F.1}$$
-$$Δh_{A.MIX} = w_1 \cdot Δh_{A.1} + w_2 \cdot c_2 \cdot ΔT$$
-Die folgenden Abbildungen zeigen exemplarisch Ergebnisse experimenteller Untersuchungen der spezifischen Feststoff- $∆h_F$ und spezifischen Aufschmelzenthalpie $∆h_A$ von Mehrstoffsystemen.
-{{ :rex310_de_107.svg?nolink&700 |}}
-{{ :rex310_de_108.svg?nolink&700 |}}
-In den Simulationsprogrammen REX / PSI / SIGMA werden zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit $λ_{MIX}$ für Mehrstoffsysteme aus den Werten der Einzelpolymere ($w_i$, $λ_i$) folgende Gleichungen zu Grunde gelegt. Für Polymerblends gilt:
-$$λ_{MIX} = w_1 \cdot λ_1 + w_2 \cdot λ_2$$
-Für gefüllte Polymere (Compounds) wird folgende Beziehung zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit angenommen:
-$$λ_{MIX} = λ_2 \cdot \frac{λ_1 + 2 \cdot λ_2 - 2 \cdot Φ_1 \cdot (λ_2 - λ_1)}{λ_1 + 2 \cdot λ_2 + Φ_1 \cdot (λ_2-λ_1)}$$
-Während die Indizes 1 und 2 bei Polymerblends den gemischten Einzelpolymeren 1 und 2 entsprechen, gilt bei gefüllten Systemen für das Basispolymer Index 1 und für den zugesetzten Füllstoff Index 2. Für jede Komponente gilt nach die lineare Annäherung:
-$$λ_i = λ_{0.i} + λ_{m.i} \cdot T$$
-Hierin ist $λ_{0.i}$ der Wert der linearen Approximationsfunktion für die Wärmeleitfähigkeit einer Komponente bei der Temperatur $T$ = 0°C, während $λ_{m.i}$ der Steigung des approximierten Wärmeleitfähigkeitsverlaufs der Komponente für Temperaturen oberhalb der Schmelztemperatur entspricht. Bei Polymerblends ergibt sich die Wärmeleitfähigkeit der Mischung $λ_{0.MIX}$ zu:
-$$λ_{0.MIX} = w_1 \cdot λ_{0.1} + w_2 \cdot λ_{0.2}$$
-Die Steigung der Wärmeleitfähigkeitsfunktion der Mischung $λ_{m.MIX}$ berechnet sich mit:
-$$λ_{m.MIX} = w_1 \cdot λ_{m.1} + w_2 \cdot λ_{m.2}$$
-Für gefüllte Polymere (Compounds) ergeben sich zur Bestimmung von $λ_{0.MIX}$ und $λ_{m.MIX}$ folgende Mischungsgleichungen:
-$$λ_{0.MIX} = λ_{0.2} \cdot \frac{λ_{0.1} + 2 \cdot λ_{0.2} -2 \cdot Φ_1 \cdot (λ_{0.2} - λ_{0.1})}{λ_{0.1} + 2 \cdot λ_{0.2} + Φ_1 \cdot (λ_{0.2} - λ_{0.1})}$$
-und
-$$λ_{m.MIX} = λ_{m.2} \cdot \frac{λ_{m.1} + 2 \cdot λ_{m.2} -2 \cdot Φ_1 \cdot (λ_{m.2} - λ_{m.1})}{λ_{m.1} + 2 \cdot λ_{m.2} + Φ_1 \cdot (λ_{m.2} - λ_{m.1})}$$
-===== Dichten von Mehrstoffsystemen =====
-Die Berechnung der Feststoffdichte und Schmelzedichte $ρ_{MIX}$ von Polymerblends und Compounds aus den Dichten $ρ_i$ und Gewichtsanteilen $w_i$ der Einzelpolymere bzw. des Basispolymers und des Füllstoffes folgt über die identische Gleichung:
-$$\frac {1}{ρ_{MIX}} = \frac{w_1}{ρ_1} + \frac{w_2}{ρ_2}$$
-Die Berechnung des spezifischen Volumens $v$ von Polymerblends und Compounds aus den spezifischen Volumina $v_i$ und Gewichtsanteilen $w_i$ der Einzelpolymere bzw. des Basispolymers und des Füllstoffes erfolgt über die Gleichung:
-$$v_{MIX} = w_1 \cdot v_1 + w_2 \cdot v_2$$
-Für Polymerblends und gefüllte Polymere (Compounds) ergeben sich zur Bestimmung von $v_{0.MIX}$ und $v_{m.MIX}$ folgende Mischungsgleichungen:
-$$v_{0.MIX} = w_1 \cdot v_{0.1} + w_2 \cdot v_{0.2}$$
-und
-$$v_{m.MIX} = w_1 \cdot v_{m.1} + w_2 \cdot v_{m.2}$$
-Zur Ermittlung der Schüttdichte $ρ_{S.MIX}$ von Mehrstoffsystemen wie Polymerblends und Compounds mit den Granulatdurchmessern $d_1$ und $d_2$ (wobei $d_1$ < $d_2$ gelten soll) der Einzelkomponenten bzw. des Basispolymers und des Füllstoffes müssen zunächst einige Betrachtungen angestellt werden. In der folgenden Abbildung ist die Schüttdichte $ρ_{S.MIX}$ einer Schüttung aus zwei verschiedenen Kornfraktionen dargestellt.
-{{ :rex310_de_109.svg?nolink&700 |}}
-Dabei soll sowohl für das Polymerblend als auch für das gefüllte System (Compound) gelten, dass der Granulatdurchmesser der kleineren Kornfraktion sehr viel kleiner als der der größeren Fraktion ist ($d_1$<<$d_2$). Trägt man die Schüttdichte $ρ_{S.MIX}$ einer Schüttung aus zwei verschiedenen Kornfraktionen über dem Gewichtsanteil der kleineren Fraktion $w_1$ auf, so hat jeder Verlauf unabhängig vom Lückenanteil $e$ ein Maximum bei der Sättigungskonzentration $w_1 = w_{Sät}$. Die Sättigungskonzentration ergibt sich zu:
-$$w_{Sät} = \frac {ρ_2 \cdot (1-p_∞) \cdot (1-e)}{ρ_1 + ρ_2 \cdot (1-p_∞) \cdot (1-e)}$$
-mit dem Grenzausfüllgrad für eine Kfz-Kugelpackung:
-$$p_∞ = \frac {V_{Kugel}}{V_{Gesamt}} = \frac {π}{3 \cdot √2} ≈ 0,74$$
-Hier ist $V_{Kugel}$ das Volumen, welches die größere Materialkomponente (Mat. 2) bezogen auf das Gesamtvolumen $V_{Gesamt}$ maximal einnehmen kann. Der Lückenanteil, der zu eng ist, als dass die kleine Materialkomponente (Mat. 1) hineinpassen würde, wird $e$ = 0,25 gesetzt. Daraus ergibt sich für die Sättigungsschüttdichte (Schüttdichte des Mischbereiches):
-$$ρ_{Sät} = ρ_1 + (1-ρ_∞) \cdot (1-e) \cdot ρ_2$$
-Zur Bestimmung der Schüttdichte $ρ_{S.MIX}$ von Mehrstoffsystemen bei Polymerblends und Compounds mit ($d_1$ < $d_2$) werden nun drei Fälle unterschieden. Die Vorgehensweise der drei Berechnungsarten ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Als Unterteilungskriterium gilt bei allen Berechnungsarten das Verhältnis der Kornfraktionen ($d_1$ / $d_2$). So geht man zunächst von nur zwei verschiedenen Berechnungsansätzen aus ($d_1<0,25 \cdot d_2$ bzw. $d_1>0,75 \cdot d_2$), während sich der dritte Berechnungsansatz aus der linearen Mittelung der beiden anderen im Übergangsbereich berechnet ($0,25 \cdot d_2 < d_1 < 0,75  \cdot d_2$).
-===Schüttdichte von Mehrstoffsystemen (Polymerblends und Compounds mit $d_1 < d_2$)===
-==Berechnungsart I, (falls $d_1 << d_2$ d. h. $d_1 < 0,25 d_2$)==
-  * falls $w < w_{Sät}$
-$$\rho_{Mix} = \left(1 - \frac{w_1}{w_{Sät}}\right)\rho_1 + \frac{w_1}{w_{Sät}} \rho_{Sät}$$
-  * falls $w \geq w_{Sät}$
-$$\rho_{Mix} = \left(1 - \frac{1 - w_1}{1 - w_{Sät}}\right)\rho_2 + \frac{1 - w_1}{1 - w_{Sät}} \rho_{Sät}$$
-==Berechnungsart II (falls $d_1 > 0,75 d_2$)==
-$$\frac{1}{\rho_{Mix}} = \frac{w_1}{\rho_1} + \frac{w_2}{\rho_2}$$
-==Berechnungsart III (falls $0,25 d_2 < d_1 < 0,75 d_2$)==
-$$\rho_{Mix} = \frac{(\rho_{Mix I} + \rho_{Mix II})}{2}$$
-$\rho_{Mix}$ = Lineare Mittelung von **Berechnungsart I und II**